CLASES DE COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL: P Y NP

Clase de complejidad P
En computación, cuando el tiempo de ejecución de un algoritmo (mediante el cual se obtiene una solución al problema) es menor que un cierto valor calculado a partir del número de variables implicadas (generalmente variables de entrada) usando una fórmula polinómica, se dice que dicho problema se puede resolver en un tiempo polinómico.
Por ejemplo, si determinar el camino óptimo que debe recorrer un cartero que pasa por N casas necesita menos de 50N²+N segundos, entonces el problema es resoluble en un "tiempo polinómico".
De esa manera, tiempos de 2n²+5n, o 4n⁶+7n⁴-2n² son polinómicos; pero 2ⁿ no lo es.
Dentro de los tiempos polinómicos, podemos distinguir los logarítmicos (log(n)), los lineales (n), los cuadráticos (n²), cúbicos (n³), etc.

Clases de complejidad

En teoría de la complejidad, la clase de complejidad de los problemas de decisión que pueden ser resueltos en tiempo polinómico calculado a partir de la entrada por una máquina de Turing determinista es llamada P. Cuando se trata de una máquina de Turing no-determinista, la clase es llamada NP. Una de las preguntas abiertas más importantes en la actualidad es descubrir si estas clases son diferentes o no. El Clay Mathematics Institute ofrece un millón de dólares a quien sea capaz de responder a esa pregunta.

Los problemas NP-completos pueden ser descritos como los problemas en NP que tienen menos posibilidades de estar en P. Actualmente los investigadores piensan que las clases cumplen con el diagrama mostrado por lo que P y NP-completo tendrían intersección vacía.
La importancia de la pregunta P = NP radica en que de encontrarse un algoritmo en P para un problema NP-completo, todos los problemas NP-completos (y por ende, todos los problemas de NP) tendrían soluciones en tiempo polinómico.

Clase de complejidad NP
En teoría de la complejidad computacional, NP es el acrónimo en inglés de nondeterministic polynomial time ("tiempo polinomial no determinista"). Es el conjunto de problemas que pueden ser resueltos en tiempo polinómico por una máquina de Turing no determinista

La importancia de esta clase de problemas de decisión es que contiene muchos problemas de búsqueda y de optimización para los que se desea saber si existe una cierta solución o si existe una mejor solución que las conocidas. En esta clase están el problema del viajante (también llamado "problema del agente de ventas" o "problema del agente viajero") donde se quiere saber si existe una ruta óptima que pasa por todos los nodos en un cierto grafo y el problema de satisfacibilidad booleana en donde se desea saber si una cierta fórmula de lógica proposicional puede ser cierta para algún conjunto de valores booleanos para las variables.
Dada su importancia, se han hecho muchos esfuerzos para encontrar algoritmos que decidan algún problema de NP en tiempo polinómico. Sin embargo, pareciera que para algunos problemas de NP (los del conjunto NP-completo) no es posible encontrar un algoritmo mejor que simplemente realizar una búsqueda exhaustiva.

El primer problema natural que se demostró que es completo NP fue el problema de satisfacibilidad booleana. Este resultado fue demostrado por Stephen Cook en 1971, y se lo llamó el teorema de Cook. La demostración de Cook de que la satisfacibilidad es un problema NP-completo es muy complicada. Sin embargo, después de que este problema se demostrara que es NP-Completo, es fácil demostrar que muchos otros problemas pertenecen a esta clase. Por lo tanto, una amplia clase de problemas en principio inconexos son reducibles unos a otros, y por lo tanto resultan en "el mismo problema" -- un resultado profundo e inesperado.

-Bibliografia
complejidad P
complejidad NP